Краснодарский край
муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение
средняя общеобразовательная школа №67 города Сочи имени дважды Героя Советского Союза Савицкого Евгения Яковлевича
Дидактический материал
по теме
«Квадратные неравенства»
Составитель:
Багарян Марина Грикоровна,
учитель математики МОБУ СОШ №67 города Сочи
Сочи, 2023
Пояснительная записка
Дидактический материал по теме «Квадратные неравенства» создан в соответствии с программой школьного курса алгебры. Данный материал может быть успешно использован учителями, применяющими в своей деятельности учебники разных авторов.
Цель создания данного дидактического материала обеспечить учителя дидактическим материалом, позволяющим:
отработать навыки решения квадратных неравенств;
определить уровень знаний и умений учащихся в усвоении данной темы.
Задачи:
обобщение практических навыков по теме «Квадратные неравенства»;
контроль за формированием навыков решения неравенств;
помощь в подготовке и организации самостоятельной работы;
организация разноуровневого контроля;
развитие математической грамотности школьников;
воспитание интереса к математике, к умственной деятельности;
формирование культуры учебной деятельности;
активизация познавательной деятельности обучающихся.
Актуальность создания материалов по теме «Квадратные неравенства» заключается в том, что данная тема встречается в КИМ ОГЭ и ЕГЭ. Решение квадратных неравенств вызывают затруднения у учащихся.
Новизна материала заключается в группировке неравенств по знаку дискриминанта и для каждой группы представлены задания базового и повышенного уровня сложности. Для каждого типа представлен образец решения с полным оформлением.
Ожидаемый результат.
Опорный конспект даст возможность детям систематизировать неравенства по знаку дискриминанта. Решенные примеры неравенств по каждому виду позволят учащимся лучше справится с ними. В каждой группе по 4-5 неравенств с разным уровнем сложности вычисления дискриминанта и корней квадратного уравнения. Решая задания от простого к сложному, учащимся проще закрепить умение решать квадратные неравенства. Выполнение данных заданий, даст возможность лучше подготовиться учащимся к государственной итоговой аттестации.
Данные дидактический материал можно использовать как изучая тему «Квадратные неравенства» для закрепления и отработки навыков решения квадратных неравенств, так и дополнительное средство обучения при подготовке к итоговой аттестации учащихся. Для проведения контроля подготовлены карточки двух уровней сложности по 3 варианта в каждом и ответы к ним.
Квадратные неравенства.
х2 + 4х - 21 > 0 (a> 0)
y = х2+4х-21 - квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем нули функции:
х2+4х-21= 0
D= 100 > 0 \\\\\\\\ \\\\\\\\\\
х1= -7, х2 = 3 -7 3 х
х € (-∞; -7)U(3;+ ∞).
Ответ: (-∞; -7)U(3;+ ∞). 2х2 + 3х -9 ≥ 0
х2 + 7х > 0
х2 – 169 ≥ 0
9х2 – 27 > 0
3х2 – 2х – 4 > 0
х2 - 4х - 12 < 0 (a>0)
y = х2 - 4х - 12 - квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем нули функции:
х2 - 4х - 12 = 0
D=64
х1= -2 \\\\\\\\\\
х2= 6 -2 6 х
х € (-2;6)
Ответ: (-2;6). х2 - 5х -14 < 0
3х2 - 15х ≤ 0
х2 – 221 < 0
5х2 – 35 ≤ 0
5х2 – 4х – 3 ≤ 0
-5х2 - 4х + 9 > 0 (a<0)
y = -5х2 - 4х + 9 - квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем нули функции:
-5х2 - 4х + 9 = 0
D = 196
х1= -1,8 \\\\\\\\
х2 = 1 -1,8 1 х
х € (-1,8;1)
Ответ: (-1,8;1). -5х2 + 4х +1 ≥ 0
-7х2 - 49х > 0
-х2 + 16 > 0
-3х2 + 18 ≥ 0
-7х2 – 2х + 3 > 0
-х2 + 8х + 48 < 0 (a < 0)
y = -х2 + 8х + 48- квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем нули функции:
-х2 + 8х + 48 = 0 \\\\\\\\ \\\\\\\\
D = 256 -4 12 х
х1= -4
х2 = 12
х € (-∞; -4)U(12; +∞).
Ответ: (-∞; -4)U(12; +∞). -7х2 + 4х + 3 < 0
-х2 + х ≤ 0
-х2 + 225 < 0
-6х2 + 30 ≤ 0
-9х2 + 3х + 4 < 0
2х2 - 12х + 18 > 0 (a > 0)
y = 2х2 - 12х + 18 - квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем нули функции:
2х2 - 12х + 18 = 0
D= 0
х1= 3
х € (-∞; 3)U(3; +∞). \\\\\\\\ \\\\\\\\
Ответ: (-∞; 3)U(3; +∞). 3 х
х2 + 14х + 49 > 0
4х2 + 4х + 1≥ 0
0,9х2 – 0,6х +0,1> 0
1/27х2 +1/3 х + 3/4 ≥ 0
3х2 - 12х + 12 < 0 (a > 0)
y = 3х2 - 12х + 12 - квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем нули функции:
3х2 - 12х +12 = 0
D= 0
х= 2
х € θ 2 х
Ответ: нет решения. х2 + 18х + 81 < 0
16х2 - 8х + 1 ≤ 0
2,5х2 + х +0,1 < 0
1/25х2 + 2/5х + 1 ≤ 0
-х2 - 10х -25 < 0 (a < 0)
y = -х2 - 10х -25 - квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем нули функции:
-х2 - 10х -25 = 0 -5 х
D= 0 \\\\\\\\ \\\\\\\\
х = -5
х € (-∞; -5)U(-5; +∞).
Ответ: (-∞; -5)U(-5; +∞). - х2 + 10х - 25 < 0
- 49х2 - 14х - 1 ≤ 0
- 9х2 + 12х - 4 < 0
- 0,09х2 + 0,6х -1≤ 0
3х2 - 7х + 18 > 0 (a > 0)
y = 3х2 - 7х + 18 - квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем нули функции:
3х2 - 7х + 18 = 0
D < 0
Уравнение не имеет решения. График функции х
не имеет точек пересечения с осью ОХ. \\\\\\\\\\\\\\\\
х € (-∞;+∞)
Ответ: (-∞;+∞). 7х2 - х + 3 > 0
х2 + 16 > 0
3,1х2 -2,5х + 3,8 > 0
х2 + 8 ≥ 0
7х2 - 3х + 2 < 0 (a > 0)
y = 7х2 - 3х - 2 - квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем нули функции:
7х2 - 3х - 2 = 0
D < 0
Уравнение не имеет решения. График функции х
не имеет точек пересечения с осью ОХ.
х € θ
Ответ: нет решения. 6х2 - 4х + 5 < 0
х2 + 81 < 0
2,3х2 +1,3х+4,6 < 0
3х2 + 36 ≤ 0
-2х2 - 3х - 15 < 0 (a < 0)
y = -2х2 - 3х - 15 - квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем нули функции:
-2х2 - 3х - 15 = 0
D < 0
Уравнение не имеет решения. График функции \\\\\\\\\\\\\\\\ х
не имеет точек пересечения с осью ОХ.
х € (-∞;+∞)
Ответ: (-∞;+∞). -15х2 - 5х – 1 ≤ 0
-2х2 - 50 ≤ 0
-5,5х2 - 3,5х – 1,5 < 0
-6х2 - 36 < 0
-7х2 - х - 1 > 0 (a < 0)
y = 3х2 - 7х + 18 - квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем нули функции:
3х2 - 7х + 18 = 0
D < 0 х
Уравнение не имеет решения. График функции
не имеет точек пересечения с осью ОХ.
х € θ
Ответ: нет решения. -3х2 + 7х - 8 > 0
-7х2 - 28 > 0
-0,4х2 - 0,3х–0,2 ≥ 0
-5х2 – 40 > 0
Опорный конспект для решения квадратных неравенств.
y= ax2+bx+c – квадратичная функция, графиком является парабола
Знак D (дискриминанта)
Неравенство ax2+bx+c = 0, D > 0, корни х1, х2 (х1< х2) Ответ:
ax2+bx+c > 0
+ +
х1 ̶ х2 х
(-∞; х1)U(х2;+ ∞)
ax2+bx+c < 0 (х1;х2)
ax2+bx+c > 0
+
̶ х1 х2 ̶ х
(х1;х2)
ax2+bx+c < 0 (-∞; х1)U(х2;+ ∞)
ax2+bx+c = 0, D = 0, корень х0
ax2+bx+c > 0
+ +
х0 х
(-∞; х0)U(х0;+ ∞)
ax2+bx+c ≥ 0 (-∞; + ∞)
ax2+bx+c < 0 Нет решения
ax2+bx+c ≤ 0 х0
ax2+bx+c > 0 х0 х
Нет решения
ax2+bx+c ≥ 0 х0
ax2+bx+c < 0 (-∞; х0)U(х0;+ ∞)
ax2+bx+c ≤ 0 (-∞; + ∞)
ax2+bx+c = 0, D < 0,
уравнение корней не имеет
ax2+bx+c > 0
х
(-∞; + ∞)
ax2+bx+c < 0 Нет решения
ax2+bx+c > 0
х
Нет решения
ax2+bx+c < 0 (-∞; + ∞)
Алгоритм решения квадратных неравенств:
Определить направление ветвей параболы.
Найти нули функции.
Определить промежутки знакопостоянства.
Выбрать нужный промежуток в зависимости от знака неравенства.
Записать ответ.
Ответы к неравенствам.
2х2 + 3х -9 ≥ 0
х2 + 7х > 0
х2 – 169 ≥ 0
9х2 – 27 > 0
3х2 – 2х – 4 > 0 (-∞; -3] U [1,5;+ ∞)
(-∞; -7)U(0;+ ∞)
(-∞; -13] U [13;+ ∞)
(-∞; -√3)U(√3);+ ∞)
(-∞; (1-√13; )/3)U((1+√13)/3;+ ∞)
х2 - 5х -14 < 0
3х2 - 15х ≤ 0
х2 – 221 < 0
5х2 – 35 ≤ 0
5х2 – 4х – 3 ≤ 0 (-2;7)
[0;5]
(-11;11)
[-√7; √7]
[(2-√19)/5; (2+√19)/5]
-5х2 + 4х +1 ≥ 0
-7х2 - 49х > 0
-х2 + 16 > 0
-3х2 + 18 ≥ 0
-7х2 – 2х + 3 > 0 [-0,2;1]
(-7;0)
(-4;4)
[-√6; √6]
(-(√22+1)/7;(√22-1)/7)
-7х2 + 4х + 3 < 0
-х2 + х ≤ 0
-х2 + 225 < 0
-6х2 + 30 ≤ 0
-9х2 + 3х + 4 < 0 (-∞;-3/7)U(1;+ ∞)
(-∞; 0]U[1;+ ∞)
(-∞; -15)U(15;+ ∞)
(-∞; -√5]U[√5;+ ∞)
(-∞;(1-√7)/6)U((1+√7)/6);+ ∞)
х2 + 14х + 49 > 0
4х2 + 4х + 1≥ 0
0,9х2 – 0,6х +0,1> 0
1/27х2 +1/3 х + 3/4 ≥ 0
(-∞; -7)U(-7;+ ∞)
(-∞; + ∞)
(-∞; 1/3)U(1/3;+ ∞)
(-∞; + ∞)
х2 + 18х + 81 < 0
16х2 - 8х + 1 ≤ 0
2,5х2 + х +0,1 < 0
1/25х2 + 2/5х + 1 ≤ 0 Нет решения
0,25
Нет решения
-5
- х2 + 10х - 25 < 0
- 49х2 - 14х - 1 ≤ 0
- 9х2 + 12х - 4 < 0
- 0,09х2 + 0,6х -1≤ 0 (-∞; 5)U(5;+ ∞)
(-∞; + ∞)
(-∞; 2/3)U(2/3;+ ∞)
(-∞; + ∞)
1 - 4 (-∞; + ∞)
1 - 4 Нет решения.
1 - 4 (-∞; + ∞)
1 - 4 Нет решения.
Карточки по теме «Квадратные неравенства»
Уровень 1 Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3
2х2 + 3х -9 ≥ 0
-7х2 - 49х > 0
х2 + 14х + 49 > 0
7х2 - х + 3 > 0
-3х2 + 7х - 8 > 0 х2 - 5х -14 < 0
х2 + 7х > 0
-7х2 + 4х + 3 < 0
- 49х2 - 14х - 1 ≤ 0
6х2 - 4х + 5 < 0 -5х2 + 4х +1 ≥ 0
3х2 - 15х ≤ 0
х2 + 18х + 81 < 0
16х2 - 8х + 1 ≤ 0
-15х2 - 5х – 1 ≤ 0
Уровень 2 Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3
- 9х2 + 12х - 4 < 0
9х2 – 27 > 0
5х2 – 4х – 3 ≤ 0
3х2 + 36 ≤ 0
-5,5х2 - 3,5х – 1,5 < 0 - х2 + 10х - 25 < 0
-3х2 + 18 ≥ 0
3х2 – 2х – 4 > 0
0,9х2 – 0,6х +0,1> 0
2,3х2 +1,3х+4,6 < 0 -6х2 + 30 ≤ 0
-7х2 – 2х + 3 > 0
3,1х2 -2,5х + 3,8 > 0
-0,4х2 - 0,3х–0,2 ≥ 0
1/25х2 + 2/5х + 1 ≤ 0
Ответы:
Уровень 1 Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3
(-∞; -3] U [1,5;+ ∞)
(-7;0)
(-∞; -7)U(-7;+ ∞)
(-∞; + ∞)
Нет решения (-2;7)
(-∞; -7)U(0;+ ∞)
(-∞;-3/7)U(1;+ ∞)
(-∞; + ∞)
Нет решения [-0,2;1]
[0;5]
Нет решения
0,25
(-∞; + ∞)
Уровень 2 Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3
(-∞; 2/3)U(2/3;+ ∞)
(-∞; -√3)U(√3);+ ∞)
[(2-√19)/5; (2+√19)/5]
Нет решения
(-∞; + ∞) (-∞; 5)U(5;+ ∞)
[-√6; √6]
(-∞; (1-√13; )/3)U((1+√13)/3;+ ∞)
(-∞; 1/3)U(1/3;+ ∞)
Нет решения (-∞; -√5]U[√5;+ ∞)
(-(√22+1)/7;(√22-1)/7)
(-∞; + ∞)
Нет решения
-5
Полная информация во вложении.
|
