Сегодня: 09.12.2019
6+
Регистрация
Вход на сайт



Главная » Методическая копилка » Математика » Разное


Методическая разработка "Решение уравнений высших степеней" 9 - 11 класс

СКАЧАТЬ (15.6 Kb) 10.10.2014, 11:56
Елюбаева Гайша Ищановна
учитель математики, Айдабульская средняя школа
Елюбаева Гайша Ищановна
Государственное учреждение
«Айдабульская средняя школа»
Зерендинского района Акмолинской области
село Айдабул
учитель математики
15-17 лет
9-11 классы

Решение уравнений высших степеней.

Общих формул нахождения корней алгебраических уравнений высших степеней нет, и поэтому об их решении говорят как об искусстве решать пример нестандартно.
Рассмотрим некоторые методы решения уравнений:
Уравнения вида аnхn+an-1 ∙ x n-1+…+a1x+a0=0 называется симметричными, если аn=a0, an-1=a1; …, т.е. если равноудаленные от концов коэффициенты попарно равны.
Пример х4 - 2х3 - х2 + 1 = 0
Т.к. х=0 не является решением уравнения, то разделив обе его части на х2, получим
Х2- 2х-1 - 2/х + 1/х2 = 0
(Х2 + 1/х2) – 2 ∙ (х + 1/х) – 1 = 0
Замена: х + 1/х = а
(х + 1/х )2= а2
Х2 + 2 + 1/х 2 = а2
Х2 + 1/х 2 = а2 – 2
а2 – 2а -3 = 0
а1=3, а2 = -1
х + 1/х = 3 2) х + 1/х = -1
х1/2 = (3+√5)/2 нет решений
Ответ: (3+√5)/2

Пример х4 - 2х3 – 6х2 + 2х + 1 = 0
Ответ: 1; 2 ± √3

II. Уравнение вида (х+а) ∙ (х+в) ∙ (х+с) ∙ (х+d) = е сводится к квадратному, если а + в = с + d
Пример (х-4) ∙ (х-5) ∙ (х-6) ∙ (х-7) = 1680
(х-4) ∙ (х-7) ∙ (х-5) ∙ (х-6) = 1680
(Х2 - 11х + 28) ∙ (Х2 - 11х + 30) = 1680
Обозначим: Х2 - 11х + 28 = а
а ∙ (а + 2) = 1680
а2 + 2а – 1680 = 0
а1= - 42, а2 = 40
х2 - 11х + 28 = -42 2) х2 - 11х + 28 = 40
х2 - 11х + 70 = 0 х2 - 11х – 12 = 0
нет решений х1 = 12 х2 = -1

Ответ: -1, 12
Пример (х + 1) ∙ (х + 2) ∙ (х + 4) ∙ (х + 5) = 40
(х + 1) ∙ (х + 5) ∙ (х + 2) ∙ (х + 4) = 40
(х2 + 6х + 5) ∙ (х2 + 6х + 8) = 40
Ответ: -6, 0
Пример х ∙ (х + 1) ∙ (х + 2) ∙ (х + 3) = 24
х ∙ (х + 3) ∙ (х + 1) ∙ (х + 2) = 24
(х2 + 3х) ∙ (х2 + 3х + 2) = 24
Ответ: -4, 1


III) Метод замены переменной
Пример х4 – х3 – 4х2 + 2х +4 = 0
Замена: t = х - 2/х
t2 - t = 0 t1 = 0, t2 = 0
х - 2/х = 0 х - 2/х = 1
х = ±√2 х = -1, х = 2
Ответ: ±√2 , -1, 2
Пример х3 + 3х2 + 7х + 10 = 0
Ответ: -2
4 Метод неопределенных коэффициентов.
Пример х4 + х3 – 8х2 + 3х + 5 = 0
Разложим многочлен х4 + х3 – 8х2 + 3х + 5 на два квадратных множителя:
х4 + х3 – 8х2 + 3х + 5 = (х2 + ах + в) ∙ (х2 + сх + d)
Найдем «неопределенные» целые коэффициенты а,в, с и d. Приравниваем слева и справа коэффициенты при одинаковых степенях:
{█(1=а+с @-8=ас+в+ d@3=аd+ вс@5=вd)┤
Т. к. множители в последнем уравнении системы равноправны, то можно считать, что в = 1 или в = -1. При в = 1 d=5,ас=-14, а + с = 1 целых решений нет.
При в = -1, d=-5,ас=-2, а + с = 1. Получаем, что либо а = 2, с = -1, либо а = -1, с = 2.
Третьему уравнению удовлетворяет лишь вторая пара.
Тогда х4 + х3 – 8х2 + 3х + 5 = (х2 - х - 1) ∙ (х2 + 2х - 5)
Ответ: (1 ± √5)/2; √6 ± 1

Пример № 344 из учебника «Алгебра и начала анализа» для 11 класса.
32х4 – 48х3 – 10х2 + 21х + 5 = 0
Ответ: -1/2; -1/4; 1; 11/4 .
В пробных сборниках по подготовке к ЕНТ также встречаются аналогичные задания.
ЕНТ 2010-2011 (х+1)(х+2)(х+3)(х+4)=120 Ответ: - 6;1.
Х4-5х3+6х2-5х+1=0 Ответ:2±√3
ЕНТ 2012 вар13 №20 (х+1)(х+3)(х+5)(х+7)=-15 Ответ: -4±√6;-2;-6.
Разнообразные приемы и методы решения уравнений способствуют повышению уровня математического развития детей и расширению их кругозора.

Литература.
Рустюмова И.П. Пособие для подготовки к ЕНТ. – Алматы: Рустюмова И.П.,2007
Цыпкин А.Г. Справочник по математике . – Москва: Наука, 1984.
Абылкасымова А.С. Алгебра и начала анализа. Учебник для 11 класса.- Алматы: Мектеп, 2011.
Башмаков М.И. Уравнения и неравенства. – Москва: Наука, 1971.


Категория: Разное | Добавил: gaisha-2014
Просмотров: 3400 | Загрузок: 185 | Комментарии: 1 | Рейтинг: 0.0/0

Нравится

Понравился материал? Оставьте свой комментарий ;)
Всего комментариев: 1
Спасибо за разные приемы решения.
Считаю, что разумно учить детей при решении уравнений высоких степеней активно использовать теорему Безу и деление уголком. Конечно, это возможно при наличии рациональных корней, однако помогает часто:)

Имя *:
Email *:
Код *:



Каталог



Я - Учитель!

Квесты для детей

Журнал для педагогов




Конкурсы для детей

Конкурсы для детей

Конкурсы для детей

Конкурсы для детей

Конкурсы для детей

Конкурсы для детей

Конкурсы для детей

Конкурсы для детей

Конкурсы для детей

Конкурсы для детей

Конкурсы для детей

Конкурсы для детей

Конкурсы для детей

Конкурсы для детей

Конкурсы для детей

Конкурсы для детей

Конкурсы для детей

Конкурсы для детей

Конкурсы для детей

Конкурсы для детей

Конкурсы для детей

Конкурсы для детей

Конкурсы для детей

Конкурсы для детей

Конкурсы для детей

Новые разработки


© 2012 - 2019 Международное сообщество педагогов "Я - Учитель!"

Я - Учитель!
------------------------------
О проекте
.............................................
Обратная связь
.............................................
Отзывы о сообществе
.............................................
Баннеры, награды
.............................................
Образовательные сайты
.............................................
Реклама на сайте



Яндекс.Метрика

Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-54568 от 21.06.2013г. выдано Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (РОСКОМНАДЗОР).
Соучредители: ИП Львова Е.С., Власова Н.В.
Главный редактор: Львова Елена Сергеевна
info@pochemu4ka.ru
Тел. 89277797310
Информация на сайте обновлена: 09.12.2019

Сайт для учителей, воспитателей и педагогических работников.

Все права на материалы сайта охраняются в соответствии с законодательством РФ, в том числе законом РФ «Об авторском праве и смежных правах». Любое использование материалов с сайта запрещено без письменного разрешения администрации сайта.


Опубликовать разработку
................................................
Получить свидетельство
................................................
Создать портфолио
................................................
Создать блог
................................................

Рейтинг@Mail.ru
Партнеры сообщества:
---------------------------------
Конкурсы Рунета
.................................................
Детский портал "ПочемуЧка"
.................................................
Конкурсы "Любознайка"
.................................................
Мастерилкино
.................................................
Самарский школьный портал