Данная презентация содержит: определение криволинейной трапеции, способы вычисления площади криволинейной трапеции - метод прямоугольников, метод трапеций, формулу Ньютона-Лейбница.
Определение. Криволинейная трапеция – это фигура, ограниченная
графиком функции f(x) (непрерывной и не меняющей знак на отрезке [a;b]);
отрезком [a;b] (осью Ох);
и прямыми x=a и x=b.
Приближенные методы вычисления площади криволинейной трапеции:
Метод прямоугольников
1) Отрезок [a;b] разбивается на n равных частей:
X(0)=a, X(1)=X(0)+h, X(2)=X(1)+h, … X(n)=b, где h=(b-a)/n
2) Вычисляется площадь каждого прямоугольника по формуле S(i)=h*f(X(i))
3) Вычисляется площадь трапеции как сумма площадей всех прямоугольников
Метод трапеций
1) Отрезок [a;b] разбивается на n равных частей:
X(0)=a, X(1)=X(0)+h, X(2)=X(1)+h, … X(n)=b, где h=(b-a)/n
2) Вычисляется площадь каждой трапеции по формуле S(i)=(f(X(i-1))+f(X(i)))/2*h
3) Вычисляется площадь трапеции как сумма площадей всех трапеций
Метод прямоугольников
Чем больше количество частей, на которые разбивается отрезок [a;b], тем больше получается прямоугольников и тем более точно вычисляется площадь криволинейной трапеции
Метод трапеций
Чем больше количество частей, на которые разбивается отрезок [a;b], тем больше получается трапеций и тем более точно вычисляется площадь криволинейной трапеции
Также необходимо обратить внимание на то,
что Метод трапеций является более точным, чем Метод прямоугольников,
т.к. боковая (верхняя) сторона каждой маленькой трапеции почти совпадает с линией функции y=f(x).
,
Точная формула вычисления площади криволинейной трапеции
Формула Ньютона-Лейбница S = F(b) – F(a), где F(x) – первообразная функции f(x)
Например:
,
Алгоритм вычисления площади криволинейной трапеции:
1) Схематично изобразить график функции f(x).
2) Провести прямые x=a и x=b.
3) Записать одну из первообразных F(x) функции f(x).
4) Составить и вычислить разность F(b) – F(a).
Задание: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Сделать проверку, используя любую другую известную формулу площади
Вариант 1
f(x) = 2x – 3
y = 0, x = 3, x = 5
Вариант 2
f(x) = -2x – 3
y = 0, x = -3, x = -5
Проверка:
Вариант 1
F(x)=x2-3x
S=F(5)-F(3)=...=10
Вариант 2
F(x)=-x2-3x
S=F(-3)-F(-5)=...=10
Сделаем проверку, используя формулу площади трапеции из курса геометрии:
Вариант 1
Вариант 2
|